htx171-MAT/B-06042017
 

Matematik B

Torsdag den 6. april 2017

Vejledning til eleven


Du skal nu i gang med matematikprojektet ”Smykker”.

Projektbeskrivelsen er opdelt i tre underafsnit:

1.      Præsentation
Her præsenteres projektets baggrund og de forskellige problemstillinger, som du kommer til at arbejde med.

2.      Opgaver
Her stilles de opgaver, der skal løses. Opgaverne indeholder åbne spørgsmål.

3.      Vejledning til GeoGebra
I dette afsnit findes en kortfattet vejledning til brug af nogle relevante værktøjer i GeoGebra.


Omfanget af opgavebesvarelsen
Omfanget af din opgavebesvarelse skal svare til, at du har haft 12 timer af uddannelsestiden til at løse opgaven. Rapporten bør højst være på 20 sider. Herudover kan du vælge at have et afsnit med bilag, hvor du fx kan dokumentere (gentagne) beregninger. Selve beregningsmetoden skal belyses grundigt med et gennemregnet eksempel i et af rapportens hovedafsnit.

Vejledningen i prøveperioden
Du må modtage vejledning i forbindelse med løsningen af opgaven. Du skal naturligvis selv finde en løsningsmetode, men det må gerne ske i en diskussion med en lærer eller andre. Når du modtager vejledning, er det vigtigt, at det er dig, der styrer diskussionen og stopper den, når du er parat til at arbejde videre på egen hånd.

Dokumentationen
Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang og fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Du skal aflevere en selvstændig og individuel besvarelse. Dette betyder bl.a. at du ikke skal arbejde så tæt sammen med dine kammerater, at I laver samme besvarelse. Vælg altså dine egne metoder, og hvor det er muligt også dine egne tal og problemstillinger.

Projektet indeholder vurderingsspørgsmål. Disse spørgsmål kan besvares på flere måder, og det er væsentligt, at du beskriver din løsningsstrategi.

Du skal udarbejde din besvarelse med it-hjælpemidler og aflevere besvarelsen som papirkopi i to eksemplarer.

Bedømmelsen af besvarelsen
Ved bedømmelsen vurderes i hvilket omfang du kan:
  • opstille matematiske modeller, regne på dem og vurdere dine resultater
  • anvende matematiske teorier og metoder fra undervisningen
  • gøre rede for din tankegang
  • inddrage flest mulige relevante emner inden for matematikken (fx funktioner, geometri, trigonometri, vektorer osv.)
  • anvende it-værktøjer til beregninger og dokumentation
  • formulere dig præcist i et matematisk sprog og bruge korrekt matematisk notation
  • fremstille og strukturere overskuelig dokumentation og demonstrere overblik.
Den mundtlige prøve
Ved den mundtlige del af prøven i matematik B skal du præsentere dit projekt. Her skal de væsentligste problemstillinger trækkes frem, og du skal beskrive, hvordan du har behandlet dem. Din lærer kan stille supplerende og uddybende spørgsmål. Prøven varer i alt 30 minutter, og præsentationen af projektet med efterfølgende spørgsmål må højst tage halvdelen af tiden.

Udover den del, der handler om projektbesvarelsen, får du også tildelt et spørgsmål ved lodtrækning. Dette spørgsmål handler om et af de emner, der er arbejdet med i undervisningen, og spørgsmålet knytter sig til et af de projekter, du har lavet. Du får én karakter i matematik, der er givet på baggrund af din projektbesvarelse og den mundtlige præstation - herunder din besvarelse af det udtrukne spørgsmål.



Præsentation


Smykker

Smykker er dekorative genstande, som man bærer uden på tøjet eller direkte på kroppen. Der er mange grunde til at bære smykker. De kan have en praktisk funktion (fx spænder, manchetknapper, ure), markere et socialt eller kulturelt tilhørsforhold (fx vielsesring, doktorring, kors) eller være en måde at opbevare en investering på, som man samtidig har glæde af (fx perler og ædelstene).

Mennesker har lavet smykker af metal, siden de første mennesker lærte at forarbejde kobber for 6.000 år siden. I mange samfund har man gennem tiden brugt kostbare metaller og ædelstene til fremstillingen af smykker, der markerede social rang og status - en måde at udstille rigdom på. De fleste kongedømmer har en samling af kronjuveler, der har tjent som et symbol på kongehusets magt og vælde.

I dag er smykker blevet en form for personligt udtryk, der fungerer som hverdagsudsmykninger og ikke længere er noget, man kun bærer ved særlige lejligheder.

I dette projekt kommer du til at arbejde med problemstillinger, der omhandler udformning af og priser på smykker.






Opgave 1 Herrering


Inden vi går i gang med opgaverne, skal du bestemme nogle af de værdier, som skal bruges i besvarelsen af opgaverne.

a) Angiv din fødselsdato og de værdier af parametrene sc og k, som du får ved at køre dette program. Størrelsen k skal bruges i opgave 1, mens sc skal bruges i opgave 2.

Op igennem historien har guldringe til mænd været populære blandt konger, regenter og hærledere. Indenfor den akademiske verden har man i Danmark og Sverige en doktorring, som kan bæres af personer, der har erhvervet sig en doktorgrad. I nyere tid er det blevet mere almindeligt for mænd at gå med ring. Disse er ofte lavet af guld, hvidguld eller platin og tit med forskellige typer sten.

Billedet viser en herrering i guld med smykkestenene onyx (sort) og diamant.

http://perlenodense.dk/produkter/113-herre-smykker/22748-nordahl---herrering-med-onyx-og-001-diamant/


På figur 1 ses onyxen indlagt som et tonet område i et koordinatsystem. Området er afgrænset af y-aksen samt af graferne for funktionerne f og g med forskrifterne
f(x) = − 0,033x4 + 0,10x30,26x2 + 0,29x + k
g(x) = 0,32x2,6

Alle mål er i centimeter. Værdien af k blev bestemt i spørgsmål 1a).


       Figur 1


b) Bestem værdien af L, der angiver længden af det tonede område. Se figur 1.

Højden defineres som den lodrette afstand mellem graferne for f og g, og denne varierer langs x-aksen. På figur 2 ses to højder, vist med blåt, svarende til to forskellige x-værdier.


       Figur 2

c) Bestem højden når x = 1.

d) Opstil en forskrift for funktionen h, der angiver højden for et vilkårligt x ∈ [0; L].

e) Bestem den største højde af onyx-området.


Det stykke onyx, der bruges til ringen, er 0,1 cm tykt overalt.

f) Bestem rumfanget af onyx-stykket.




Opgave 2 Diamanter


Diamanter er verdens mest populære ædelsten - og det hårdeste naturligt forekommende materiale, der findes på Jorden. De fleste diamanter er farveløse eller svagt gule, men de findes i mange andre farver. På billedet herunder ses en rød diamant.

Den rå diamant ser ofte ganske ubetydelig ud, og først når diamanten bliver slebet og poleret, kommer dens funklende egenskaber frem. Der findes mange måder at slibe en diamant på. En af de mere simple slibninger kaldes tablecut, se tegning og billede herunder. Den består af en regulær pyramidestub, kaldet crown, og en regulær pyramide, kaldet pavillion; begge med kvadratiske grundflader. Sidelængder og vinkler kan variere fra diamant til diamant.

crown




pavillion
 
http://www.becomingthemrs.com/wp-content/uploads/2013/11/Table-cut-diamond.gif


En tablecut diamant er vist på figur 3. Ved at klikke her åbnes figuren i GeoGebra, så diamanten kan ses fra forskellige sider. Et tværsnit gennem diamanten ses på figur 3, som det tonede område, og på figur 4. Alle mål er i mm.


    Figur 3

      Figur 4

Diamantens crown har en sidefladehøjde, sc, der er fundet i spørgsmål 1a). Topfladens kantlængde kaldes b og vinklen vc = 34,5°. For diamantens pavillion gælder, at sidefladehøjden er sp = 2,65 og vinklen vp = 40,6°.

a) Lav en skitse af tværsnittet af den diamant, du arbejder med, hvor alle anvendte symboler og kendte værdier er vist.

b) Bestem diamantens bredde, B.

c) Bestem diamantens højde, h, og topfladens kantlængde, b.

d) Bestem diamantens rumfang.

En diamants vægt måles i karat, hvor en karat er 0,2 g. Massefylden for diamanter er 3,52 g/cm3.

e) Hvor mange karat er denne diamant?

Det er vinklerne vc og vp, der bestemmer, hvor meget en diamant funkler. Er diamanten slebet korrekt, vil lys, der sendes ind i diamantens crown, komme ud igen fra crown.

På figur 5 kan man se et tværsnit af en anden tablecut diamant, end den du tidligere har arbejdet med, samt en lysstråle, der bevæger sig gennem den. Efter lysstrålen er kommet ind i diamanten, reflekteres den to gange for til sidst at forlade diamanten gennem crown.


     Figur 5


Inde i diamanten følger lysstrålen vektorerne givet ved

a =  ( 0
−5,2
) ,   b =  ( 6
1,4
) ,   c =  ( 1
2,4
)


Alle mål er i millimeter.

f) Bestem vinklen w, se figur 5.

g) Bestem afstanden mellem det punkt, hvor lysstrålen kommer ind i diamanten, og det punkt, hvor den forlader diamanten igen.

h) Bestem den strækning som lysstrålen har bevæget sig inde i diamanten.

En diamant er ikke blot en ædelsten, som bruges til smykkefremstilling. Den er i lige så høj grad et investeringsobjekt.

Figur 6 viser udviklingen i diamantpriser målt i U.S. dollars pr. karat for perioden 1960-2015.

http://www.statista.com/statistics/279053/worldwide-sales-of-polished-diamonds/

Figur 6


i) Opstil en tabel, som viser sammenhængen mellem diamantpriser og antal år efter 1960, og indtegn data i et koordinatsystem.

j) Opstil en lineær model, der beskriver sammenhængen mellem diamantpriser og antal år efter 1960 i perioden 1960-2015. Kommenter resultatet.

k) Lav en ny model, der beskriver sammenhængen mellem diamantpriser og antal år efter 1960 for perioden 1960-1990. Undersøg hvordan data fra 2000-2015 passer ind i denne model.




Opgave 3 Vikingesmykker


Billedet viser en reproduktion af et smykke fra vikingetiden (800 – 1050 e. Kr.), en såkaldt Thors hammer. I den nordiske mytologi var Thor guden, som herskede over regn og torden, og samtidig var han vikingebondens beskytter. Smykket blev fundet på Sejerø og er 35 mm højt.

http://www.museum-jewelry.dk/shop/thorshammer-fra-sejroe-1875p.html


Hvis du klikker her, åbnes et billede af smykket indlagt i et koordinatsystem med programmet GeoGebra. Under menupunktet ”Vejledning til GeoGebra” kan du finde information om nogle af de muligheder, programmet tilbyder.

a) Hvilke matematiske dele (fx linjer, cirkler, parabler etc.) vil du benytte til at beskrive Thors hammer med?

b) Opstil på baggrund af dine valg en matematisk model, der beskriver smykkets omrids.

c) Benyt modellen fra b) til at bestemme en tilnærmet værdi for smykkets omkreds.

d) Vurder smykkets overfladeareal og argumentér for dit resultat.




Vejledning til GeoGebra


På Internettet findes et stort antal eksempler, tutorials etc., der viser hvad programmet kan. Se fx http://ggbkursus.dk/oversigt/

Programmet GeoGebra tilbyder en lang række muligheder. Her vil blot blive vist et kort udvalg. Der vil som regel være flere forskellige måder at løse en opgave på. Nedenfor vises blot et eksempel til inspiration. Bemærk at skærmbilledet kan se lidt anderledes ud, når man åbner programmet.
Ved at klikke på dette ikon

kan man markere punkter i den del af programvinduet, der kaldes ’Tegneblok’. Koordinaterne for disse punkter kan aflæses i den del af programvinduet, der kaldes ’Algebra vindue’. Se figur 1. Afhængigt af hvilken browser man anvender, kan der være små forskelle i udseende.


Figur 1


Ved at klikke på dette ikon


der kan findes i en menu i ikonbåndet (se figur 2),


Figur 2


kan man oprette et linjestykke ved først at klikke på startpunktet (her C) og derefter slutpunktet (her D). Linjestykket får et navn (her a), og længden af det kan ses i Algebra vinduet. I eksemplet på figur 3 er længden af linjestykket 3,29.


Figur 3


Her har vi set på konstruktion af et linjestykke og aflæsning af længden. I programmet kan man også konstruere trekanter og andre polygoner samt cirkler, cirkelbuer m.m. og aflæse længder og vinkler.
Hvis man har markeret flere punkter og ønsker at bruge regression til at finde et polynomium der tilnærmelsesvis går igennem dem, kan man bruge kommandoen ’FitPoly’, der indtastes i ’Inputfelt’ under Algebra vinduet.


Figur 4


Hvis man, som i figur 4, har markeret 4 punkter A, B,C og D, og f.eks. ønsker at bestemme et 2. grads polynomium ved regression, gøres det med kommandoen

FitPoly[A,B,C,D,2]


I Algebra vinduet vises forskriften for det beregnede polynomium, se figur 5.


Figur 5


Det kan dog være nødvendigt at justere antallet af decimaler, som programmet arbejder med, for at få en fornuftig aflæsning. Dette gøres i menupunktet ’Afrunding’, som vist på figur 6, hvor et passende antal decimaler kan vælges.


Figur 6


Hvis man herefter trækker den højre kant af Algebra vinduet mod højre, kan forskriften aflæses med det valgte antal decimaler. Se figur 7.

Figur 7




Indtast din fødselsdato


Dag:    
Måned:        


Her kommer resultatet


k
resultatet aflæses her
cm
sc
resultatet aflæses her
mm






Tilbage til Opgave