htx161-MAT/B-11042016
 

Matematik B

Mandag den 11. april 2016

Vejledning til eleven


Du skal nu i gang med matematikprojektet ”Spejderlejr”.

Projektbeskrivelsen er opdelt i tre underafsnit:

1.      Præsentation
Her præsenteres projektets baggrund og forskellige problemstillinger, som du kommer til at arbejde med.

2.      Opgaver
Her stilles de opgaver, der skal løses. Opgaverne indeholder åbne spørgsmål.

3.      Vejledning til GeoGebra
I dette afsnit findes en kortfattet vejledning til brug af nogle relevante værktøjer i GeoGebra.


Omfanget af opgavebesvarelsen
Omfanget af din opgavebesvarelse skal svare til, at du har haft 12 timer af uddannelsestiden til at løse opgaven. Rapporten bør højst være på 20 sider. Herudover kan du vælge at have et afsnit med bilag, hvor du f.eks. kan dokumentere (gentagne) beregninger. Selve beregningsmetoden skal belyses grundigt med et gennemregnet eksempel i et af rapportens hovedafsnit.

Vejledningen i prøveperioden
Du må modtage vejledning i forbindelse med løsningen af opgaven. Du skal naturligvis selv finde en løsningsmetode, men det må gerne ske i en diskussion med en lærer eller andre. Når du modtager vejledning, er det vigtigt, at det er dig, der styrer diskussionen og stopper den, når du er parat til at arbejde videre på egen hånd.

Dokumentationen
Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang og fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Du skal aflevere en selvstændig og individuel besvarelse. Dette betyder bl.a. at du ikke skal arbejde så tæt sammen med dine kammerater, at I laver samme besvarelse. Vælg altså dine egne metoder, og hvor det er muligt også dine egne tal og problemstillinger.

Projektet indeholder vurderingsspørgsmål. Disse spørgsmål kan besvares på flere måder, og det er væsentligt, at du beskriver din løsningsstrategi.

Du skal udarbejde din besvarelse med it-hjælpemidler og aflevere besvarelsen som papirkopi i to eksemplarer.

Bedømmelsen af besvarelsen
Ved bedømmelsen vurderes i hvilket omfang du kan:
  • opstille matematiske modeller, regne på dem og vurdere dine resultater
  • anvende matematiske teorier og metoder fra undervisningen
  • gøre rede for din tankegang
  • inddrage flest mulige relevante emner inden for matematikken (fx funktioner, geometri, trigonometri, vektorer osv.)
  • anvende it-værktøjer til beregninger og dokumentation
  • formulere dig præcist i et matematisk sprog og bruge korrekt matematisk notation
  • fremstille og strukturere overskuelig dokumentation og demonstrere overblik.
Den mundtlige prøve
Ved den mundtlige del af prøven i matematik B skal du præsentere dit projekt. Her skal de væsentligste problemstillinger trækkes frem, og du skal beskrive, hvordan du har behandlet dem. Din lærer kan stille supplerende og uddybende spørgsmål. Prøven varer i alt 30 minutter, og præsentationen af projektet med efterfølgende spørgsmål må højst tage halvdelen af tiden.

Udover den del, der handler om projektbesvarelsen, får du også tildelt et spørgsmål ved lodtrækning. Dette spørgsmål handler om et af de emner, der er arbejdet med i undervisningen, og spørgsmålet knytter sig til et af de projekter, du har lavet. Du får én karakter i matematik, der er givet på baggrund af din projektbesvarelse og den mundtlige præstation - herunder din besvarelse af det udtrukne spørgsmål.



Præsentation


Spejderlejr

I 2012 blev der afholdt en spejderlejr i Holstebro. Der deltog over 37000 personer fra hele verden, og et område på ca. 250 hektar i udkanten af byen blev benyttet til formålet. Selve lejren varede en uge, mens forberedelserne forløb over flere år. Der skulle bl.a. anlægges veje, tænkes på kloakering, oprettes Falckstation, posthus, radiostation, sygehus samt diverse butikker og restauranter på stedet.

Inden afholdelsen af lejren skulle de logistiske forhold være på plads. I løbet af ugen blev der rejst mange midlertidige konstruktioner.

I dette projekt kommer du til at regne på problemstillinger relateret til spejderlejren.



Billedet viser et tårn bygget af spejdere på lejren.



Opgave 1 Midlertidige konstruktioner


I løbet af ugen byggede spejderne en gangbro.



Figur 1 nedenfor viser højre del af gangbroen. Mellem punkterne B og C er placeret en stolpe med længden s.
Afstanden |AC| = 4,66 og |CE| = 6,87. Alle mål er i meter.


Figur 1

a) Angiv din fødselsdato og de værdier af parametrene s, d og v1 som du får ved at køre dette program. Størrelsen s skal bruges i opgave 1, d i opgave 2 og v1 i opgave 3.

b) Bestem højden h af gangbroen.

c) Bestem gangbroens vinkel v med vandret.

Hvis du klikker her, åbnes et billede af gangbroen indlagt i et koordinatsystem med programmet GeoGebra. Under menupunktet ”Vejledning til GeoGebra” kan du finde information om nogle af de muligheder programmet tilbyder.

d) Vurder, hvor langt der er at gå over broen fra A til H.

Mellem punkterne I og J  hænger et tov.

e) Bestem forskriften for en funktion, som tilnærmelsesvist beskriver tovet.

f) Gør rede for, hvordan længden af tovet kan vurderes og bestem længden.

Teltet, kaldet Stilhedens Katedral, blev rejst til lejrens kirkegængere.



Figur 2 nedenfor viser teltet set forfra indlagt i et koordinatsystem.



Figur 2

Grafen for funktionen f  beskriver kanten af teltet. Alle mål er i meter.

f (x) = 
16/x2
1,43,38x < x1
0,1x2 + 6,4x1xx2
16/x2
1,4x2 < x3,38

g) Bestem x1 og x2, så funktionen f  bliver kontinuert.

h) Bestem teltets højde h.

i) Bestem arealet af det gråtonede område vist på figur 2.

Teltet var 15 m dybt.

j) Vurder mængden af stof brugt til fremstillingen af teltet og angiv hvilke antagelser, du har benyttet.




Opgave 2 Områdekort


Billedet viser et områdekort over lejren. De orange områder var afsat til fælles aktiviteter.




Figur 3 nedenfor viser en forstørret skitse af område B.
Afstanden |OR| = 116, P = 97°, Q = 53,4° og O er ret. Alle mål er i meter.


Figur 3

I de følgende spørgsmål får du brug for værdien af d, som du fandt i spørgsmål 1a.

a) Bestem |OP|.

Område B skal indhegnes.

b) Bestem den samlede længde af indhegningen.

c) Bestem arealet af område B.




Opgave 3 Spejderliv


I Danmark findes der 6 forskellige spejderkorps, og et af disse korps er KFUM-spejderne. I Tabel 1 ses antal KFUM-spejdere i udvalgte år i perioden 2006-2014.

Årstal 2006 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Antal KFUM spejdere 22952 23479 24000 24144 24749 24754 ? 25699
Tabel 1


a) Indtegn data i et passende koordinatsystem.

b) Gør rede for hvilken af nedenstående modeller, der bedst beskriver sammenhængen mellem antal år efter år 2000 og antal KFUM-spejdere.

Lineær model: l(t) = At + B
Potensmodel: p(t) = b ta      

  Her angiver t antal år efter år 2000.

c) Opskriv forskriften for begge modeller, og bestem hvor mange KFUM-spejdere, der ifølge modellerne var i 2013. Kommenter resultatet.

Tegningen viser et spejdertelt

Figur 4

Figur 4 viser en tegning af et lignende spejdertelt. Teltets endeflade kan beskrives ved et rektangel og en ligebenet trekant. Alle mål er i meter.

d) Vis, at teltets endefladeareal er givet ved udtrykket

    A(x) = x + x1,82x2

e) Bestem x, således at teltets endefladeareal bliver størst muligt.

f) Bestem teltets volumen, når teltets endefladeareal er størst muligt.

Et andet telt fastholdes af barduner, som er fastgjort i en pløk. Figur 5 viser teltet set fra siden samt to barduner.

Figur 5

I det følgende spørgsmål får du brug for værdien af v1, som du fandt i spørgsmål 1a.

Bardunerne påvirker pløkken med kræfter repræsenteret ved vektorerne F1 og F2.

Følgende størrelser er givet

|F1| = 60 N, |F2| = 100 N og v2 = 45°.

g) Bestem længden af sumvektoren R = F1 + F2.

h) Bestem sumvektorens vinkel i forhold til vandret.




Vejledning til GeoGebra


Programmet GeoGebra tilbyder en lang række muligheder. Her vil blot blive vist et kort udvalg, der kan være relevant i sammenhæng med dette projekt – alt efter, hvordan man vælger at besvare opgaverne. Der vil som regel være flere forskellige måder at løse en opgave på. Nedenfor vises blot et eksempel til inspiration.
Ved at klikke på dette ikon

kan man markere punkter i den del af programvinduet, der kaldes ’Tegneblok’. Koordinaterne for disse punkter kan aflæses i den del af programvinduet, der kaldes ’Algebra vindue’. Se figur 1. Afhængigt af hvilken browser man anvender kan der være små forskelle i udseende.

Figur 1


Ved at klikke på dette ikon


der kan findes i en menu i ikonbåndet (se figur 2),


Figur 2


kan man oprette et linjestykke ved først at klikke på startpunktet (her C) og derefter slutpunktet (her D). Linjestykket får et navn (her a), og længden af det kan ses i Algebra vinduet. I eksemplet på figur 3 er længden af linjestykket 3,29.

Figur 3


Hvis man har markeret flere punkter og ønsker at bruge regression til at finde et polynomium der tilnærmelsesvis går igennem dem, kan man bruge kommandoen ’FitPoly’, der indtastes i ’Inputfelt’ under Algebra vinduet.

Figur 4


Hvis man, som i figur 4, har markeret 4 punkter A, B,C og D, og f.eks. ønsker at bestemme et 2. grads polynomium ved regression, gøres det med kommandoen

FitPoly[A,B,C,D,2]


I Algebra vinduet vises forskriften for det beregnede polynomium, se figur 5.

Figur 5


Det kan dog være nødvendigt at justere antallet af decimaler, som programmet arbejder med, for at få en fornuftig aflæsning. Dette gøres i menupunktet ’Afrunding’, som vist på figur 6, hvor et passende antal decimaler kan vælges.

Figur 6


Hvis man herefter trækker den højre kant af Algebra vinduet mod højre, kan forskriften aflæses med det valgte antal decimaler. Se figur 7.
Figur 7


Indtast din fødselsdato


Dag:    
Måned:        


Her kommer resultatet


s
resultatet aflæses her
meter
d
resultatet aflæses her
meter
v1
resultatet aflæses her
°






Tilbage til Opgave